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发表于 2026-1-24 15:55:51
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在追踪此明朝科学家计算历史时,笔者比较困惑,由于“南吕倍律”的计算,涉及到无理数的开平方根,在“应钟倍律” 的计算,涉及到无理数的开立方根。
在明朝,全世界还没有实数的概念,平方根、立方根更没有数学符号;
那么朱载堉是如何计算平方根、立方根呢?
不得不,又从朱载堉明朝的著作入手。
原来朱载堉是这样计算的:
设被开方数为 a,当前已得商为a_n,当前余数为R_n,,待求下一位商为b,则:
(20*a_n+b)*b<= R_n ;
其中:
a_n 为前n位商构成的整数 (如已得商为 12,则a_n =12);
b属于集合{0,1,2,...,9},即b为1位自然数,取最大整数使不等式成立;
R_n为上一步余数与下两位被开方数合并后的数值(按"两位一节"分组);
新余数是 R_(n+1) =R_n -(20*a_n+b)*b;
注:上面b取最大整数使不等式(20*a_n+b)*b<= R_n 成立,因此新余数 R_(n+1)一直非负数。
而新商为 a_(n+1) =10*a_n+b;
该过程重复进行,直至达到所需精度(朱载堉可达小数点后24位精确度)。
将朱载堉的计算公式变形,再结合到朱载堉实际计算中经常进行的1尺=10寸转换。
朱载堉的计算公式等价于现代高等数学的求极限题:
设a为正数,x_1为某个正的初值,数列迭代公式为:
x_(n+1) =(x_n+ a/x_n)/2;
求极限的值。
如果这个数列有极限,不妨设为u,等式两边求极限,得到
u=(u + a/u)/2 2u=u+ a/uu^2=au=a的平方根。
所以,朱载堉的计算公式,迭代后的极限值,就是a的平方根。
慢!这样在考证逻辑上少了一环。回忆起大学的高等数学,必须先证明极限是存在的,然后才能求取极限值!
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